微分中值定理是数学分析中的核心内容之一，它揭示了函数在区间上的整体性质与其局部性质之间的联系。本文将通过几何直观和严格的数学推导，帮助读者深入理解该定理的内涵。

首先，从几何角度出发，我们可以将微分中值定理视为连接曲线两端点的割线与某点处切线平行的关系。假设函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续且可导，则根据拉格朗日中值定理，存在一点 $ c \in (a, b) $ 使得 $ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $。这一结论直观地表明了函数的变化率与平均变化率之间的关系。

接下来，我们进行严格的数学推导。构造辅助函数 $ g(x) = f(x) - \left[f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\right] $，并验证其满足罗尔定理的条件：$ g(a) = g(b) = 0 $，且 $ g(x) $ 在 $[a, b]$ 上连续可导。由罗尔定理可知，存在 $ c \in (a, b) $ 满足 $ g'(c) = 0 $，从而得出 $ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $。

综上所述，微分中值定理不仅具有深刻的理论意义，还为解决实际问题提供了重要工具。